احتمال انتقال P_ij یعنی احتمال این که متغیر تصادفیS که در وضعیت جاری i است و در دوره بعد به وضعیت j می­رود، به چه میزان است. احتمالات انتقال می‌تواند به صورت یک ماتریس احتمال انتقال نوشته شوند. اگرn وضعیت داشته باشیم، ماتریس احتمال انتقال به صورت زیر بدست می‌آید:
(۳-۲۹) P=
با توجه به قانون احتمالات باید باشد که مفهوم این رابطه آن است که اگر متغیر تصادفی در وضعیت جاری در رژیم i باشد، احتمال این‌ که در وضعیت بعدی، در یکی از وضعیت‌های{j=1,2,…,n} قرار بگیرد، معادل یک است.
(۳-۳۰)
همچنین ها باید غیر منفی باشند.
P₁₂ که در سطر دوم و ستون اول است می­گوید احتمال تغییر از رژیم ۱ به رژیم ۲ چقدر است (همیلتون، ۱۹۹۴).
در یک مدل با دو رژیم، به سادگی می­توان فرض کرد که ، مقادیر یک و دو را اختیار می­ کند. برای تکمیل مدل، باید ویژگی­های فرایند را مشخص کنیم. در مدل انتقال مارکوف یک فرایند مارکوف از درجه اول در نظر گرفته می­ شود. این فرض، بیانگر این نکته است که فقط به رژیم دور قبل، یعنی بستگی دارد. در زیر با معرفی احتمالات انتقال^[۱۱۹] از یک وضعیت به وضعیت دیگر مدل خود را کامل می کنیم.

P(s_t= 1│s_{t – ۱}=۱) = P₁₁
P(s_t= 2│s_{t – ۱}=۱) = P₁₂
P(s_t= 1│s_{t – ۱}=۲) = P₂₁
P(s_t= 2│s_{t – ۱}=۲) = P₂₂
در روابط بالا، ها بیانگر احتمال حرکت زنجیره مارکوف، از وضعیت i در زمان t-1 به وضعیت j در زمان t است. ها باید غیر منفی بوده و همچنین، شرط زیر برای آن­ها، برقرار باشد:
P₁₁ + P₁₂ =۱
P₂₁ + P₂₂ =۱
۳-۴-۷- روش حداکثر درست نمایی
فرایند برآورد یک مدل انتقال مارکوف با در نظر گرفتن دو رژیم ۱ و ۲ به صورت زیر است.
(۳-۳۱)
که در آن ، متغیر مورد مطالعه، برداری از متغیرهای توضیحی، برداری از پارامترهای تحت تأثیر وضعیت­های یک یا دو و جمله اختلال می­باشد. دو مرحله برای تعیین لگاریتم تابع درست نمایی طی می­ شود.
گام اول: ابتدا توزیع مشترک y_tو متغیر غیرقابل مشاهده s_t در نظر گرفته می­ شود که برابر است با حاصل ضرب چگالی شرطی و چگالی حاشیه­ای:
(۳-۳۲)
با توجه به نرمال در نظر گرفتن تابع توزیع داریم:
(۳-۳۳)
مجموعه اطلاعات تا زمان t-1 است.
گام دوم: سپس برای به دست آوردن چگالی حاشیه­ای ، جمع تابع چگالی مشترک بالا برای کلیه مقادیر ممکن s_t که شامل دو وضعیت می­باشد محاسبه می­ شود:
(۳-۳۴)
بنابراین لگاریتم تابع درست نمایی عبارت است از:
(۳-۳۵)
Ln L =
که در آن، ، احتمال بودن در وضعیت یک یا دو در دوره t را نشان می­دهد. بنابراین تابع حداکثر درست نمایی، میانگین وزنی تابع چگالی برای دو رژیم است که در آن وزن؛ احتمال بودن در رژیم یک یا دو می­باشد.
به منظور برآورد الگو، ابتدا باید یک فرایند تصادفی را در نظر بگیریم که احتمال را تعیین کند. در این جا یک فرایند مارکوف مرتبه اول در نظر گرفته می­ شود که در آن احتمال بودن در یک وضعیت خاص در زمان t فقط بستگی به وضعیت قبل در زمان t-1 دارد. در این صورت، احتمال انتقال به صورت زیر تعریف می­گردد:
(۳-۳۶)
در ابتدای زمان t، احتمالات به صورت زیر محاسبه می­ شود:
(۳-۳۷)
که در آن به صورت رابطه شماره (۳-۳۶)، تعریف شده است. در پایان هر دوره، احتمالات با بهره گرفتن از فیلتر تکراری زیر به روز می­ شود:
(۳-۳۸)
که در رابطه شماره (۳-۳۳)، تعریف شده است(پرلین^[۱۲۰]، ۲۰۱۲).
الگوی انتقال مارکوف با بهره گرفتن از یک مسیر بهینه­یابی غیرخطی بازگشتی^[۱۲۱] برآورد می­ شود. مقادیر اولیه برای بهینه­یابی با به کارگیری الگوریتم حداکثرسازی انتظارات^[۱۲۲] به دست می ­آید. همیلتون(۱۹۹۰)، نشان داده است که این الگوریتم همگرایی پایداری را به سمت حداکثر تابع درست نمایی نمایش می­دهد حتی اگر مقادیر اولیه از مقدار حداکثر، فاصله زیادی داشته باشند.
چندین مزیت مهم در استفاده از مدل­های مارکوف وجود دارد. یکی از این مزایا آن است که در اغلب فرآیندها به دلیل عدم وابستگی بین وضعیت کنونی و تاریخ گذشته آن به راحتی می­توان تابع چگالی حاشیه­ای را تعبیر نمود، بنابراین ماتریس انتقال برای این فرایند، بعد از چندین نقطه زمانی دست یافتنی خواهد شد. با اعمال این احتمالات انتقال، می­توان چگالی احتمال یک فرایند با زنجیره مارکوف پنهان را به صورت صریح به دست آورد. اکنون علل زیر را برای انتخاب رژیم­های متفاوت مطرح می­کنیم. علت اول: در نظر گرفتن وضعیت­ها و رژیم­های مختلف با واقعیت­های بیرونی اقتصاد هماهنگی بیشتری دارد. لذا در نظر گرفتن بیش از یک رژیم برای متغیر واقعیت بهتری از اقتصاد را نشان می­دهد. علت دوم: براساس تحقیقات مشاهده می­ شود که میانگین و نوسانات تورم در طول زمان ممکن است متغیر باشند لذا بایستی حداقل تعداد قابل توجهی از رژیم­ برایشان در نظر گرفته شوند تا رفتار واقعی اقتصاد قابل پیش ­بینی یا توضیح باشد. علت سوم: عامل دیگری که می ­تواند بر رفتار متغیرهای کلان اقتصادی تأثیرگذار باشد وجود چرخه­های تجاری (رکود و رونق) در اقتصاد است. بنابراین به نظر می­رسد که الگوسازی بدون توجه به وضعیت­ها و رژیم­های مختلف می ­تواند باعث توصیه و سیاست­گذاری اشتباه گردد(نیسی،۱۳۹۰).
۳-۵- آزمون­های مدل
۳-۵-۱- بررسی آزمون ریشه واحد
قبل از برآورد یک الگوی سری زمانی می­بایست مطمئن شد که سری زمانی تحت بررسی یک سری ایستا است یا خیر. بنا به تعریف یک سری زمانی را وقتی ایستا گویند که میانگین و واریانس ثابت داشته باشد و کواریانس آن به ازای وقفه­های مشخص تغییری نکند. اگر یک سری زمانی ایستا باشد ایستا از درجه صفر است، اما سری زمانی ایستا نباشد ولی با یک بار تفاضل­گیری ایستا شود آن گاه ایستا از درجه یک است. روش­های مختلفی برای آزمون ایستایی متغیرها وجود دارد.
در صورتی که در داده ­ها شکست ساختاری وجود نداشته باشد، شاید بتوان گفت که نتایج آزمون­های دیکی­فولر تعمیم یافته، فیلیپس­پرون و… قابل اتکا می­باشند، اما در صورت وجود شکست ساختاری در داده ­ها قطعاً نمی­ توان به نتایج آنها اتکا نمود (پرون^[۱۲۳]، ۱۹۸۹). نتایج آزمون­های رایج ریشه واحد دیکی­فولر، دیکی­فولر تعمیم یافته، فیلیپس­پرون و غیره در صورتی معتبر می­باشد که داده ­ها شکست ساختاری نداشته باشند، اما در صورت وجود شکست ساختاری آزمون­های مذکور برای بررسی درجه ایستایی قابل اتکا نخواهند نمود. غفلت از در نظر گرفتن شکست ساختاری ممکن است منجر به تورش در نتیجه آزمون ریشه واحد در جهت عدم رد فرض صفر ریشه واحد گردد، به عبارت دیگر آزمون­هایی مانند دیکی­فولر تعمیم یافته و فیلیپس­پرون ممکن است اشتباهاً متغیر را ایستا از درجه یک گزارش نمایند در حالی که در حقیقت ممکن است متغیر با در نظر گرفتن شکست ساختاری ایستا^[۱۲۴] باشد.
۳-۵-۱-۱- آزمون شکست ساختاری ضریب لاگرانژ
با توجه به انتقادات پرون (۱۹۸۹) از آزمون دیکی فولر، که امکان بررسی شکست ساختاری در نظر گرفته نشده است، وی نشان داد که امکان رد فرضیه ریشه واحد با بروز شکست ساختاری در شرایطی که متغیر ایستا می­باشد، کاهش می­یابد. پرون شکست ساختاری را به صورت برون­زا مطرح می­ کند و سه الگو متفاوت را بیان می کند. ۱) امکان بروز یک شکست در عرض از مبدأ تابع روند شکل­ گیری داده ­ها لحاظ می­ کند ۲) امکان بروز شکست را در شیب تابع لحاظ می­ کند. ۳) امکان بروز شکست را در شیب و عرض از مبدأ به طور همزمان لحاظ می­ کند.
از آن جا که در روش آزمون ریشه واحد پرون زمان شکست ساختاری به صورت متغیر برون­زا از قبل تعیین می­ شود از سوی برخی محققین مورد انتقاد قرار گرفت و بیان می­ کنند روشی که زمان شکست ساختاری را درون­زا در نظر می­گیرند، می ­تواند نتایج بهتری را ارائه کند.
بدین ترتیب زیوت و اندریوز^[۱۲۵] در سال ۱۹۹۲ آزمونی برای پیدا کردن درون­زای تاریخ شکست ساختاری با بسط آزمون پرون (۱۹۸۹) ارائه کردند. در این آزمون فرضیه صفر مبنی بر وجود ریشه واحد است، به طوری که هیچ شکست ساختاری وارد الگو نشود؛ در حالی که فرض مقابل بیان می­ کند که سری زمانی دارای روندی ایستا با یک شکست ساختاری است که در زمانی نامعلوم رخ داده است: (زیوت و اندریوز، ۱۹۹۲)
این نحوه تعیین فروض بزرگترین نقد وارد بر این آزمون می­باشد و تفسیر بسیاری از تحلیل­گران را در مطالعات سری زمانی دچار اخلال می­ کند. زیرا به عنوان مثال نتایج تعداد زیادی از مقالات که از این آزمون­ها استفاده می­ کنند نشانگر آن می­باشد که شکست ساختاری وجود داشته و متغیر ایستا است، این درحالی است که در واقع متغیر هم با شکست مواجه بوده و هم در سطح ایستا نمی ­باشد. این اخلال در نتیجه آزمون از آنجا ناشی می­ شود که گاه بروز شکست موجب افزایش اندازه آماره آزمون و رد فرض صفر )ریشه واحد( شده در حالی­که متغیر در واقع ایستا نیست.
لازم به ذکر است، تعیین درون­زای یک شکست ساختاری بالقوه، لزوما به معنی وجود یک شکست ساختاری واقعی نمی ­باشد و این مسأله در حقیقت بیان­کننده این است که اگر واقعا شکستی رخ داده باشد، بیشترین احتمال وقوع آن در زمان تعیین شده به صورت درون­زا خواهد بود.
حال چنانچه برای بررسی ایستایی متغیر از آزمون ریشه واحد ضریب لاگرانژ^[۱۲۶] استفاده شود، نتایج آزمون تحت تأثیر شکست قرار نمی­گیرد. علاوه بر این به طورکلی توان آزمون ضریب لاگرانژ در تعیین ایستایی متغیر به نسبت آزمون دیکی­فولر و آزمون فیلیپس پرون بهبود یافته است، که این بخاطر استفاده از یک فرایند روند زدایی داده ­ها می­باشد. این آزمون در شکل اولیه آن توسط اشمیت و فیلیپس^[۱۲۷](۱۹۹۲) و اشمیت و لی^[۱۲۸](۱۹۹۱) مطرح گردید. با توجه به اهمیت در نظر گرفتن شکست ساختاری در روند تشکیل داده ­ها، آزمون ریشه واحد ضریب لاگرانژ با شکست ساختاری توسط آمسلر^[۱۲۹]و لی(۱۹۹۵) و لی و استرازیچیچ^[۱۳۰](۲۰۰۳) ارائه شد. در این آزمون­ها امکان بروز شکست ساختاری در فرض صفر و فرض مقابل وجود دارد، و توزیع متغیر تحت تأثیر پارامتر شکست قرار نمی­گیرد. به عبارتی در این آزمون فرض ایستایی مستقل از شکست ساختاری مورد بررسی قرار می­گیرد.
در آزمون ریشه واحد ضریب لاگرانژ با شکست ساختاری روند تشکیل داده ­ها به صورت زیر نشان داده می­ شود: