قضیه ۲-۸:یک سیستم LTI چند ورودی و چند خروجی  تعریف شده توسط  را درنظر بگیرید که  و  . ما داریم:
(i)H پسیو است اگر و فقط اگر
(ii)H اکیداً پسیو است اگر و فقط اگر :

توجه کنید که قضیه ۲-۸ تنها برای سیستم‌هایی که پاسخ ضربه‌شان در A است صدق می‌کند. به ویژه برای سیستم‌های با دیمانسیون محدود، دستگاه جبری (A) شامل سیستم‌هایی است که همه قطب‌شان در نیمه چپ فضای مختلف قرار دارند. بنابراین قضیه ۲-۸ هیچ چیزی درباره اینکه آیا یک سیستم با تابع انتقال زیر:

پسیو است یا نه نمی‌تواند بگوید. قضیه بعدی نشان می‌دهد که چه کلاسی از سیستم‌ها با تابع انتقال به فرم (۲-۲۹)فارغ از مقادیر ویژه α و w پسیو است.
قضیه ۲-۹: سیستم  تعریف شده توسط تابع تبدیلش بصورت زیر را درنظر بگیرید.

تحت این شرایط، H پسیو است.
سیستم‌هایی با تابع تبدیل قضیه (۲-۹) نوسانی هستند. یعنی اگر تحریک شوند، خروجی بدون دمپینگ کردن با فرکانس  نوسان می‌کند. تابع تبدیل به این فرم یک کلاسی جالبی از سیستم‌ها به نام ساختارهای قابل انعطاف را می‌سازد. یک مدل LTI^[10] از یک ساختار قابل انعطاف شکل زیر را دارد:

۲-۴-۶-۱ توابع گویا حقیقی اکیداً مثبت
همانطوری که می‌دانیم یک سیستم LTI (نسبی و پایدار) H اکیداً پسیو است اگر و فقط اگر  . این یک محدودیت خیلی سخت است و ندرتاً توسط سیستم‌های فیزیکی برآورده می‌شود. در حقیقت هیچ سیستم اکیداً مناسبی نمی‌تواند این شرط را برآورده سازد و این محدودیت، به شدت قابلیت کاربرد قضیه پسیویتی را محدود می‌کند. برای مثال موردی که در آن یک طرح پسیو (خطی یا غیرخطی) با یک کنترلر LTI کنترل می‌شود را درنظر بگیرید. اگر پایداری توسط قضیه پسیو تحمیل شود آنگاه تنها کنترلرهایی با درجه نسبی صفر می‌توانند بعنوان کاندیدای ممکن جهت کنترل دارای شرایط لازم باشند که این یک نتیجه دلسردکننده است. در این قسمت ما مفهوم حقیقی اکید مثبت
(SRP) ^[۱۱]را معرفی می‌کنیم که به طور کلی در جایی بین پسیویتی و اکید پسیویتی قرار گرفته است. نشان خواهیم داد که ترکیب فیدبک یک سیستم پسیو با یک سیتم SPR پایدار است و بنابراین شرایط قضیه پسیویتی را آسان می‌گیریم. در ادامه  به مجموعه‌ای از همه چندجمله‌هایی از درجه n برحسب متغیر نامشخص s اشاره می‌کند.
تعریف ۲-۸:یک تابع گویا  را که  است را درنظر بگیرید و  . آنگاه می‌گوییم  حقیقی مثبت (PR) است اگر:

و می‌گوییم  اکیداً حقیقی مثبت (SPR) است اگر وجود داشته باشد  چنانکه  ، PR باشد.
تعریف ۲-۸: برای استفاده کردن نسبتاً مشکل است چون نیاز به بررسی کردن قسمت حقیقی  برای همه مقادیر ممکن s در نیمه راست طرح است. به این دلیل، شرایط حوزه فرکانس برای SPR معمولاً ترجیح داده می‌شود. ما اکنون این شرایط را بعنوان تعریف بعدی برای توابع گویای SPR بیان می‌کنیم.
تعریف۲-۹: تابع گویا  که  و  را درنظر بگیرید. آنگاه می‌گوییم  در کلاس Q است اگر:
(i)  یک چندجمله‌ای Hurwitz (یعنی ریشه‌های  در نیمه چپ باز طرح باشد)
(ii)
تعریف ۲-۱۰: گوییم  SPR ضعیف است اگر در کلاس Q باشد و درجه چندجمله صورت و مخرج کسر حداکثر ۱ درجه اختلاف داشته باشند. می‌گوییم  SPR است اگر SPR ضعیف باشد و علاوه بر آن یکی از شرایط زیر را برآورده سازد:
(i)  ، یعنی p و q درجه مشابهی داشته باشند.
(ii)  ، یعنی  اکیداً صحیح باشد و
یک بررسی راجب اختلاف میان مفهوم‌های معرفی شده در بالا انجام می‌دهیم. اگر  SPR (یا حتی SPR ضعیف) باشد، آنگاه  . هرچند عکسش درست نیست.
۲-۵ بررسی اینورترهای تکفاز و روش­های کلیدزنی آنها
۲-۵- ۱ مقدمه
کاربرد اینورترها در سیستم­های قدرت متصل به شبکه جهت تامین توان و جبران هارمونیک بسیار زیاد می باشد. از اینرو شناخت ساختار اینورترها و نحوه کنترل انها از اهمیت بالایی برخوردار است. در این قسمت انواع اینورترهای تکفاز دو و سه سطحی مورد بررسی قرار می­گیرند. همچنین تعدادی از روش­های کلیدزنی مبدل با ساختار تکفاز نیز مورد مطالعه قرار خواهد گرفت.
۲-۵-۲ اینورتر تک فاز منبع ولتاژ نیم پل(Half-Bridge )
اینورتر تک فاز منبع ولتاژ نیم پل(Half-Bridge )، ساده­ترین توپولوژی است که برای تولید شکل موج خروجی موج مربعی دوسطحی مورد استفاده قرار می گیرد. یک منبع ولتاژ سر وسط دار در این توپولوژی مورد نیاز است که بدین منظور عمدتاً از دو خازن سری با مقدار برابر برای ایجاد سر وسط استفاده می گردد. شکل(۲-۷) ساختار یک اینورتر تک فاز منبع ولتاژ نیم پل را نشان می دهد.
شکل(۲-۷): توپولوژی اینورتر تک فاز منبع ولتاژ نیم پل
۲-۵-۳ اینورتر تک فاز منبع ولتاژ تمام پل(Full-Bridge )
شکل(۲-۸) ساختار یک اینورتر تک فاز منبع ولتاژ تمام پل را نشان می دهد.