تعریف ۲-۱(ایستایی در گذر از صفر^[۲۶])
نرخ گذر از صفر تاخیری فرایند تصادفی بین دو زمان و به صورت تعریف می­ شود و را ایستا در گذرهای از صفر می­گویند اگر و تنها اگر تنها به وابسته باشد، یعنی برای هر و ، باشد. در این صورت، را نرخ گذر از صفر در تاخیر نامیده و طیف گذر از صفر برای را به صورت تعریف می­ کنند.

ایستایی در گذر از صفر را می­توان با بهره گرفتن از روش­های مختلفی مشخص کرد. لم زیر نمونه ­ای از این روش­ها را ارائه می­ کند.
لم ۲-۱
فرض کنید یک فرایند تصادفی با تابع توزیع حاشیه­ای باشد که، برای همه مقادیر ،
است. در این صورت، عبارت­های زیر معادل هستند:
الف) فرایند ایستا در گذرهای از صفر با نرخ گذر از صفر است؛
ب) احتمال­های همه­مثبتی تنها به وابسته است، یعنی ؛
ج) فرایند ، با اتوکوواریانس­های ، در گشتاور دوم ایستا است.
در این حالت، است.
تذکر۲-۳
یک فرایند ایستای قوی، مانند فرایند خطی که در نتیجه ۲-۱ مورد بررسی قرار گرفت، ایستا درگذرهای از صفر است. از آنجایی که زوج و است، می­توانیم را به صورت
بنویسیم. برای نوفه سفید، ، ،
و است.
حال که با مفهوم گذرهای از صفر آشنا شدیم، می­توانیم قضیه زیر را از قضیه ۲-۱ نتیجه بگیریم.
قضیه ۲-۳(فرآیندهای وابسته)
فرض کنید و با رابطه (۲-۳) و (۲-۴) و با ، t=1,…,n، تعریف شده باشند که در آن فرآیندی -وابسته و ایستا در گذرهای از صفر و یا فرایند خطی تعریف شده در نتیجه ۲-۱ است. همچنین فرض کنید که دارای تابع توزیع و تابع چگالی باشد به طوریکه و است. در هر دو حالت ذکر شده بالا، را دارای نرخ گذر از صفر در نظر بگیرید به طوری که بوده و فرض (v) در نتیجه ۲-۲ برقرار باشد. مجموعه را به عنوان مجموعه ­ای از مقادیر جداگانه در تعریف کنید که در فرض (vii) قضیه ۲-۲ صدق می­ کنند. فرض کنید برای تمام مقادیر ، باشد. آنگاه زمانی که به سمت بینهایت میل می­ کند ()، و دارای توزیع خواهد بود که در آن ،
و برای ، است.
بر اساس قضیه ۲-۳، میانگین مجانبی برابر با است. این تابع را طیف لاپلاسی می­نامند. یادآوری می­کنیم که اگر ایستا در گشتاورهای دوم با تابع خود همبستگی
باشد، آنگاه میانگین مجانبی ، که طیف توان و یا طیف گاوسی نیز نامیده می­ شود، برابر است که در آن
طیف خود همبستگی (یا طیف توان نرمال شده) است. بنابراین، طیف لاپلاس معادل طیف توان است با این تفاوت که متناسب با طیف گذر از صفر است اما متناسب با طیف خودهمبستگی است. طیف گذر از صفر یک تبدیل فوریه از نرخ گذر از صفر است، در حالی که طیف خودهمبستگی یک تبدیل فوریه از ضرایب خودهمبستگی است. همانطور که در بررسی نوفه سفید دیده می­ شود، ، به عنوان یک ضریب، جایگزین شده است.
در حالت کلی، رابطه بین ضرایب همبستگی و نرخ گذر از صفر پیچیده است. اما برای برخی از توزیع­های خاص می­توان آن را در فرم­های صریح و روشن بیان کرد. به عنوان مثال، اگر یک فرایند گاوسی ایستا با تابع خود همبستگی باشد، Kedem در ۱۹۹۴ نشان داده است که
بر اساس لم ۲-۱، نیز در گذر از صفر ایستا است و
است. بنابراین، برای فرآیندهای گاوسی ایستا داریم:

که تبدیل فوریه از تبدیل آرک­سینوسی^[۲۷] ضرایب خود همبستگی است.
رابطه مشابهی را می­توان برای توزیع­های بیضوی^[۲۸] بدست آورد. در حقیقت، فرض کنید دارای توزیع بیضوی با تابع چگالی ، ، باشد که در آن یک ماتریس معین مثبت است که، برای همه مقادیر ، بوده و یک تابع نامنفی است که در شرط صدق می­ کند. می­توان نشان داد که و است که در آن خواهد بود. برای هر و ، تابع را به صورت در نظر بگیرید. در این صورت، توزیع حاشیه­ای ، برای همه مقادیر ، می ­تواند به صورت و تابع توزیع توام و ، برای هر ، به فرم ، برای ، نوشته شود که در آن است.
از آنجایی که توزیع بیضوی باقی می­ماند، می­توان نشان داد که
است ( به مرجع Kedem (1994) رجوع کنید) که در آن خواهد بود. فرض کنید ایستا در گشتاورهای دوم است به طوری که . آنگاه بر اساس لم ۲-۱، ایستا در گذر از صفر با است. در نتیجه، رابطه­ای شبیه به رابطه (۲-۶) برای طیف گذر از صفر بدست می ­آید. همچنین، از آنجایی که است، خواهیم داشت
که درآن است.
۳-۳ سری­های زمانی با طیف مرکب
حالتی را در نظر بگیرید که در آن شامل سیگنال سینوسی است. یک سری زمانی از این نوع را سری زمانی با طیف مرکب می­نامند زیرا طیف توان آن ترکیبی از مولفه­های گسسته و پیوسته است. قضیه زیر توزیع مجانبی دوره­نگارهای لاپلاسی در فرکانس سیگنال را اثبات می­ کند.
قضیه ۲-۴
فرض کنید به وسیله رابطه (۲-۳) تعریف شود که در آن، برای برخی از مقادیر ثابت ، ، ، است و در فرض­های قضیه ۲-۳ صدق کند. آنگاه، زمانی که به سمت بینهایت میل می­ کند ()، به صورت مجانبی دارای توزیع و دارای توزیع خواهد بود که در آن
و است.
به یاد داشته باشید که اگر ایستا در گشتاورهای دوم با طیف خود همبستگی باشد، آنگاه دوره­نگار عادی به طور مجانبی دارای توزیع است، که در آن
است. قضیه ۲-۴ مشابه این نتیجه را برای دوره­نگار لاپلاسی ارائه می­ کند. از آنجایی که به عنوان نسبت سیگنال به نوفه^[۲۹] () شناخته می­ شود، از همتای آن، یعنی
، با عنوان نسبت سیگنال به نوفه لاپلاسی^[۳۰] یاد می­کنیم. قضیه ۲-۴ نشان می­دهد که نسبت سیگنال به نوفه لاپلاسی معیاری طبیعی برای اندازه ­گیری قدرت سیگنال سینوسی در طیف لاپلاسی است.
در ادامه سعی می­کنیم توزیع مجانبی را در فرکانس­های non-signal بدست آوریم. .برای سادگی، در ابتدا نوفه سفید را مورد بررسی قرار می­دهیم (تحلیلی مشابه برای نوفه­های رنگی^[۳۱] نیز برقرار است).
قضیه ۲-۵
فرض کنید به وسیله رابطه (۲-۳) با ، ، تعریف شده است که در آن دنباله­ای از متغیرهای تصادفی مستقل و هم­توزیع با تابع توزیع و چگالی باشد. با در نظر گرفتن و حذف اندیس­های و ، مقادیر ، و مانند قضیه ۲-۱ تعریف شده و
و در نظر گرفته می­ شود. فرض کنید ثابت وجود دارد بطوری که